คำว่า “ตรรกศาสตร์” เป็นศัพท์ที่บัญญัติขึ้นเพื่อใช้แทนแนวคิดเกี่ยวกับเรื่องราวของ Logic ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำว่า Logos ในภาษากรีกครับ
“ตรรกศาสตร์” คือวิชาที่ว่าด้วยการศึกษาถึง “หลักการของเหตุผลที่แท้จริง” เป็นการศึกษาถึงเกณฑ์การใช้เหตุผล ว่าการอ้างเหตุผลแบบใดจะถือว่าสมเหตุสมผล-ถูกต้อง และไม่บกพร่องที่สุด
“ตรรกศาสตร์” จึงคล้ายดั่งประตูบานใหญ่ที่จะเปิดให้เราเดินเข้าสู่วิชาปรัชญาต่อไปนั่นเอง
ในวงการคณิตศาสตร์นั้น คำว่า “ตรรกศาสตร์” หรือ “ตรรกวิทยา” ไม่เพียงเป็น “ความรู้” ทว่า เป็นในตัวของมันเองเป็น “เครื่องมือในการค้นคว้าหาความรู้” และ “ความจริง” ชุดต่างๆ ด้วย
ทั้งนี้เนื่องเพราะ “ตรรกวิทยา” นั้น เป็นวิชาที่ต้องใช้เหตุใช้ผลกันอยู่ตลอดเวลา
กล่าวคือ เมื่อเราเริ่มคิด เหตุผลต่างๆ ก็จะวนเวียนอยู่ในสมอง ซึ่งเราสามารถแสดงเหตุผลให้ผู้อื่นทราบได้ง่ายๆ โดยใช้ “เครื่องหมายสื่อกลาง” ที่ตกลงกันไว้ก่อนนั่นเองครับ
“ภาษา” ในฐานะเครื่องมือของตรรกศาสตร์
เป็นที่ทราบกันทั่วไปว่า หนึ่งในบรรดา “เครื่องหมายสื่อกลาง” ที่ถือเป็นเครื่องมือหลักของ “ตรรกศาสตร์” ก็คือ “ภาษา” นั่นเอง
เพราะโดยทั่วไปแล้ว มนุษย์เรามักใช้ “ภาษา” เป็น “เครื่องหมายสื่อกลาง” มากกว่าสัญลักษณ์อื่นๆ
เนื่องด้วย “ภาษา” นั้นเป็นเครื่องมือที่เหมาะสำหรับการใช้สื่อสารความคิดเป็นหลักใหญ่ใจความ
แต่หากจะพูดถึง “ภาษา” ในฐานะเครื่องมือของตรรกศาสตร์แล้ว ก็มักจะพุ่งเป้าไปที่ “หลักของเหตุผล” กันเป็นอันดับแรกเสมอ
ทั้งที่ในความเป็นจริงแล้ว นอกจากการใช้ “ภาษา” เพื่อแสดงเหตุผล (Reason) มนุษย์เรายังใช้ “ภาษา” เพื่อการบอกเล่า (Information) และการสื่อถ้อยอารมณ์ความ (Emotion) กันอีกด้วย
กฎการใช้ “ภาษา” พื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับการแสดงเหตุผลมี 3 ข้อดังนี้
1. ต้องมี 2 ข้อความในรูปประโยคเสมอ
2. ข้อความหนึ่งต้องสนับสนุนอีกข้อความหนึ่งซึ่งจะเรียกว่าข้ออ้าง (Premise)
3. ส่วนข้อความที่ถูกสนับสนุนเรียกว่าข้อสรุป (Conclusion) และลักษณะการใช้ภาษาดังกล่าวข้างต้นนี้ คนในวงการเค้าจะเรียกกันว่าการพิสูจน์ (Proof) ครับ
โดย “การพิสูจน์” นั้นก็คือ การอ้างถึงสิ่งที่แน่ใจก่อนเป็นเบื้องต้น และการอ้างดังกล่าวจะต้องสนับสนุนและยืนยันข้อสรุปให้เกิดความชัดเจนด้วย
ซึ่ง “กระบวนการพิสูจน์” นั้น จะมีอยู่ 2 วิธีด้วยกันกล่าวคือ พิสูจน์ด้วยวิธีนิรนัย (Deduction) และพิสูจน์ด้วยวิธีอุปนัย (Induction)
เรียน “ตรรกศาสตร์” กับ Sudoku
เมื่อเราได้ทราบที่มาที่ไปของ “ตรรกวิทยา” คร่าวๆ แล้ว อันดับต่อไปเราจะมาลองเรียนรู้ตรรกศาสตร์เบื้องต้นแบบง่ายๆ สไตล์ Sudoku กัน
เพื่อให้สามารถเข้าใจแนวคิดอย่างรวดเร็ว ผมจะขอพูดถึง “กฎ 3 ข้อของ Sudoku” กันก่อน
1. เมื่อคุณตัดทอนสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ออกไป สิ่งใดๆ ที่เหลืออยู่ก็คือความจริง
2. ยังมีที่ว่างสำหรับทุกๆ สิ่งเสมอ เพราะทุกๆ สิ่งต่างก็มีที่ทางของมันเองอยู่แล้ว
3. สิ่งที่ชัดแจ้งและแจ่มแจ๋วอยู่แล้ว ก็เพราะว่า “มันไม่มีอยู่!”
จากภาพประกอบ ท่านผู้อ่านจะเห็นว่า เส้นตารางนั้นจะช่วยให้เราระบุแถว ทั้งแนวนอน และแนวตั้ง รวมถึงระยะแบ่งของแต่ละกล่องได้โดยอัตโนมัติ
และจะเห็นอีกว่า ชุดตัวใบ้ที่ถูกวางเอาไว้ในแถวแนวนอน, แนวตั้ง กระทั่งในกล่องต่างๆ นั้นเป็นอย่างไร
จากภาพ เรามาเริ่มคิดกันก่อนว่าควรเติมตัวเลขอะไรลงไปในช่องกล่องซ้ายบน ลองมองไปที่ตัว A โดยใช้กฎข้อ 1 กันก่อน
ก่อนอื่น ตัดทอนตัว 1, 2, 4, 6 และ 8 ออกไปก่อนเลยครับ เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้มีอยู่แล้วในกล่องเดียวกันกับ A
นอกจากนี้เรายังสามารถตัด 7 และ 9 ออกตามไปได้อีก เนื่องจากมันอัดอยู่ในแถวแนวตั้งเดียวกับ A แล้วเช่นกัน
และสุดท้าย เราก็จะตัดเลข 5 ออกไปอีกหนึ่งตัว เนื่องเพราะได้ปรากฏเลข 5 อยู่ในแถวเดียวกับ A
ด้วยการตัดทอนเช่นนี้ ตัวเลขในตำแหน่ง A จึงต้องเป็นเลข 3 ครับ!
ต่อมา เราจะคิดต่อไปถึงกล่องล่างซ้าย ว่าจะควรเติมเลข 8 ลงไปตรงไหนได้บ้าง โดยอาศัยกฎข้อ 2
กล่าวคือ เราจะเห็นว่าเลข 8 นั้น ควรจะปรากฏอยู่ในช่อง B, C, D หรือ E
แต่เนื่องจากมีเลข 8 ปรากฏอยู่ในแถวแนวตั้งที่ 2 อยู่แล้ว มันจึงน่าจะอยู่ในช่อง B หรือ E
ใช่แล้วครับ เลข 8 มีบรรจุอยู่ในแถวแนวตั้งที่ 3 อยู่แล้ว เหตุดังนี้จึงไม่สามารถเติม 8 ลงไปในช่อง C ได้อีก เลข 8 จึงต้องอยู่ในช่อง D เท่านั้น!
ต่อมาเราจะมาดูกล่องขวาบนกันบ้าง ว่าจะเติมอะไรลงไปแทน F ได้
ซึ่งหากมองกฎข้อ 3 ดีๆ ก็จะรู้ว่า เราสามารถตัดเลข 1, 3, 4, 5, 8, และ 9 ออกไปได้
เนื่องจากมันมีอยู่ในกล่องแล้ว และเรายังสามารถเขี่ย 7 ออกไปได้อีก เนื่องจากมี 7 ปรากฏอยู่ในแถวแนวตั้งของกล่องขวาล่าง ทำให้เหลือตัวเลขอีกเพียงสองตัวคือ 2 กับ 6
และเนื่องจากกล่องขวากลางยังขาดเลข 2 แถมตำแหน่งที่จะต้องเติมก็คือแถวแนวตั้งสุดท้ายพอดี
ดังนั้น ตำแหน่ง F จึงไม่อาจเป็นเลข 2 ได้ คำตอบสุดท้ายก็คือ 6 นั่นเองครับ!
